Nosotros podemos concluir que tanto la coherencia de nuestras convicciones como la adecuación del entendimiento con la realidad son dos propiedades esenciales –e ideales- de la Verdad.
En 1931, Alfred Tarski, un lógico polaco, presentó a la Sociedad Científica de Varsovia un artículo que se hará famoso: “El concepto de verdad en los lenguajes formalizados”. Tarski se planteaba el viejo problema filosófico de la verdad en términos de rigor matemático, obteniendo como resultado una teoría extensional de la verdad que ha dado lugar al desarrollo de la moderna semántica lógica, y que parece restaurar la venerable doctrina aristotélica de la verdad como correspondencia (adaequatio rei et intellectus).
Lo que sostiene Tarski es lo siguiente:
1) La noción de “verdad de un enunciado” no es absoluta, sino relativa a un lenguaje L, en cuyo marco se mueve el enunciado.
2) El predicado “verdadero”, como cualquier otra categoría de la semántica lógica, no pertenece al lenguaje objeto (el que usamos para referir al mundo), sino al metalenguaje o lenguaje en el cual se habla de otro lenguaje, como cuando digo: “el enunciado ‘el gato es un felino doméstico’ es verdadero”.
3) Como el lenguaje ordinario no puede distinguir entre lenguaje y metalenguaje produce contradicciones, tales como la paradoja del mentiroso: si un mentiroso dice que miente, ¿miente? (si miente dice la verdad; y si dice la verdad, miente, por tanto dice la verdad, etc.), por lo que la construcción de una definición rigurosa del concepto de “enunciado verdadero” resulta posible tan sólo en los lenguajes formalizados, o sea en lenguajes “artificiales” en los que el sentido de toda expresión está inequívocamente determinado por su forma.
Tarski afronta tal definición rigurosa de “verdad de un enunciado” con la ayuda del concepto semántico auxiliar de satisfacción, que construye previamente mediante técnicas recursivas y que tiene un origen matemático. Así, en la ecuación “x + 1 = 4” se asigna a la variable x el valor 3, y se dice que esta asignación de valor a x satisface esa ecuación.
Lo interesante aquí es que podemos extender este uso a la lógica y a la teoría del lenguaje en general. Supóngase la función enunciativa “x es una hortaliza”. Si se asigna en dicha función a x el valor “zanahoria”, resultará la expresión “La zanahoria es una hortaliza”, que satisface la función, que así se torna en un enunciado verdadero.
Satisfacción y verdad lógica
Dada una fórmula A y un universo U, se dice que una interpretación I satisface a esa fórmula si como resultado de la interpretación dicha fórmula se convierte o puede convertirse en un enunciado verdadero.
La relación de satisfacción es una relación semántica que abreviamos: I Sat A, y leemos: "La interpretacón I satisface a la fórmula A".
Si A es una fórmula atómica (simple), la definición recursiva de satisfacción es la siguiente:
Si A es una predicación, es decir, A = Ra1, a2 …, an (n ≥1), entonces I Sat Ra1, a2 …, an si y sólo si la relación objetiva n-ádica R* conviene a la secuencia objetiva [a*1, a2 …, a*n]. Los símbolos individuales a1, a2… an son constantes. Entendidos como parámetros, habrá que especificar que la secuencia objetiva correspondiente puede ser cualquiera.
Hoy en día, la noción semántica de verdad es tratada también en conexión a la noción de modelo.
Verdad y modelo
Cuando una interpretación I satisface una fórmula A para toda secuencia objetiva, suele decirse que esa interpretación es un modelo M de A. Ello se puede indicar escribiendo I Mod A, lo que se lee: "I es modelo de A".
Ahora se puede definir la noción de verdad o validez relativamente a una interpretación y un universo. Una fórmula A es verdadera o válida bajo una interpretación I y para un universo U, si y sólo si esa interpretación lo satisface para toda secuencia objetiva, es decir si esa interpretación es modelo suyo: A ε V si y sólo si I Mod A.
El hecho de que una interpretación satisfaga una fórmula o un conjunto de fórmulas no es razón suficiente para que se diga que es modelo de ella. Para que una interpretación sea modelo de una fórmula o de un enunciado, es preciso que la satisfaga para toda secuencia objetiva, es decir: que no admita un solo ejemplo en contra.
Satisfacibilidad y verdad lógica
Un enunciado o una fórmula A es llamada satisfacible si hay al menos en algún universo una interpretación que la satisfaga. Un proposición o una fórmula A es insatisfacible si bajo ninguna interpretación en ningún universo es satisfacible.
Por ejemplo, la fórmula ^x (Px -> Qx) (Para todo x, si P se dice de x, entonces Q se dice de x) es satisfacible. Basta imaginar que P denote el conjunto de los gatos y Q el conjunto de los felinos. En cambio la fórmula: Px & ¬Px (P se dice de x y al mismo tiempo no-P también se dice de x), es insatisfacible, por contradictoria, es decir, se trata de un enunciado que no puede ser verdadero en ningún mundo posible.
La satisfacibilidad llevada a su extremo es la validez necesaria o verdad lógica. Se dice que una fórmula o un enunciado son lógicamente verdaderos o universalmente válidos si esas fórmulas son verdaderas bajo toda interpretación y en cualquier universo no vacío. Este es el caso de enunciado analítico o lógicamente necesario, tal como A -> A, pues resulta verdadero no sólo en este mundo, sino en todos los mundos posibles. Es lo que Leibniz llamó verdades de razón, como contrapuestas a las verdades de hecho, pues las primeras no pueden ser no-verdaderas, mientras que las verdades de hecho sólo pueden ser verdaderas contingentemente, esto es, por circunstancias accidentales de este mundo, como las verdades expresadas por los enunciados históricos, tales como “César cruzó el Rubicón” o "Carlos I de España fue también emperador de Alemania".
Bibliografía
Manuel Garrido. Lógica simbólica, Tecnos, 4ª ed. 2001.
La naturaleza de la evidencia
Texto para comentar
Douglas R. Hofstadter. Gödel, Escher, Bach. Un Eterno y Grácil Bucle. Tusquets, 7ª ed. 2001, pg. 774.
¿Es posible definir qué es la evidencia? ¿Es posible formular leyes que indiquen cómo asignar un sentido a las situaciones? Es probable que no, pues toda regulación rígida tendría, indudablemente, excepciones, y no reglas. Contar con un programa IA inteligente tampoco resolvería el problema pues, en tanto que procesador de evidencia, no sería en absoluto menos falible que los seres humanos. Entonces, si después de todo la evidencia es algo tan intangible, ¿por qué estoy tan prevenido contra formas nuevas de interpretación de la misma? ¿Es que soy incoherente? No creo esto. Lo que pienso es que se pueden establecer pautas orientadoras, y luego elaborar síntesis orgánicas a partir de ellas (...), hay complicados criterios para decidir si un método de evaluación de evidencia es eficaz. Uno de ellos se refiere a la "utilidad" de las ideas que llevaron al tipo de razonamiento en cuestión: las modalidades de pensamiento que, en la vida, han conducido a la obtención de cosas útiles son consideradas, en algún sentido, "válidas". Con todo, este concepto de "útil" es sumamente subjetivo.
Creo que el proceso por el cual decidimos qué es válido o qué es verdadero constituye un arte, y que descansa a tal profundidad en un sentido de la belleza y de simplicidad que su asiento son los principios fundamentales básicos de la lógica, o del razonamiento o de cualquier otra cosa que pueda ser objetivamente formalizada. No estoy diciendo que (1) la verdad es una quimera, ni que (2) la inteligencia humana es, en principio, no programable. Sí estoy diciendo que (1) la verdad es demasiado elusiva como para que un ser humano o cualquier grupo de seres humanos la abarque nunca en su plenitud; y (2) la Inteligencia Artificial, cuando alcance el nivel de la inteligencia humana -y también si lo sobrepasa- se verá saturada de problemas relativos al arte, la belleza y la simplicidad, y se estrellará constantemente contra estas cosas mientras ejercita su propia búsqueda de conocimiento y comprensión.
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